第一步 · 先猜一猜
只用不超过 113 的分母，哪个分数最接近 π？
选一个你现在的预测。
科学 / 数学 / 18
玩转 π
几何、数论、级数——人类用三种不同的耐心，一层一层抓住 π。
多边形夹 π96 边
下界（内接）3.1410319509上界（外切）3.1427145996对齐位数2
割之弥细，所失弥少——刘徽，公元 263 年探索路线
先猜一猜，再动手。
知道 π ≈ 3.14159，会算分数的大小。
01
割圆：从六边形开始一路翻倍到 12288 边，看上下界怎样把 π 夹进祖冲之的 3.1415926–3.1415927。
02
数字河：拉过 770 位找费曼点（第 762 位起六个 9），再搜一搜你自己的生日。
03
分数与级数：看 355/113 如何守住王座，再看莱布尼茨级数慢得有多离谱。
第二步 · 观察当前状态
当前读数
边数96
下界 n·sin(π/n)3.141031950891
上界 n·tan(π/n)3.142714599645
对齐位数2
发生了什么？
96 边把 π 夹在 3.141031950891 与 3.142714599645 之间，两侧对齐 2 位。每翻倍一次，缝就缩到约四分之一——这是没有算式只有耐心的几何算法。
第三步 · 接受一个挑战
0 / 301夹进祖冲之的区间
割圆翻倍到 12288 边（k=11），让上下界落进 3.1415926 与 3.1415927 之间。
提示
k=11 时下界 3.141592619…、上界 3.141592722…——四舍五入正好是 3.1415926 和 3.1415927。
02找到费曼点
把数字河拉到 770 位以上，搜索 999999，在它真正的位置逮住它。
提示
它从第 762 位开始，后面跟的是一个 8；前一千位里仅此一处。
03谁能打败密率
把分母上限拉到 1000，试着找出比 355/113 更准的分数。
提示
spoiler：到 16604 之前谁也做不到——这个挑战的真正答案是一声「哇」。
安全与范围纯计算实验，无风险。唯一的危险是想背下一千位。
你看到的是
同一个 π，四种人类的抓法：割圆（刘徽 3072 边、祖冲之夹出 3.1415926–3.1415927，领先约九百年）；水龙头算法（一位一位流出 π，不查表、不算到尽头）；连分数（渐近分数 22/7 → 333/106 → 355/113，反常的 292 让密率以小博大，直到分母 16604 才被超过）；级数（莱布尼茨美而慢——一百万项只换五位，尼拉坎塔快三十倍）。所有数字由本页引擎现场计算，并与独立的 BigInt Machin 公式逐位核对过 1000 位。
动手试试22/7 偏大 0.00126，355/113 只偏 0.00000027；第 762 位起连着六个 9。把割圆拉到 k=11：上下界四舍五入正好是 3.1415926 和 3.1415927。